Tam Sayı Nedir

1. Sayfa
DOĞAL SAYILAR TAM SAYILARÖğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN

---

2. Sayfa
KONU BAŞLIKLARI1. TEMEL KAVRAMLAR 2. SAYILARIN SINIFLANDIRILMASI 2.1. Doğal Sayılar 2.2. Tam Sayılar 2.2.1. Çift ve Tek Sayılar 2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılar 2.2.3. Ardışık Sayılar3. FAKTÖRİYEL KAVRAMI

---

3. Sayfa
1. Temel KavramlarRakam1 ve 8 hem birer rakam hem de birer sayıdır. Buna sayıları ifade etmek için kullanılan sembollere rakam denir.{0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanları onluk sayma sisteminde kullanılan rakamlardır.SayıRakamların bir çokluk belirtecek şekilde bir araya ge­tirilmesiyle oluşturulan ifadelere sayı denir.Uyarı: Tüm rakamlar birer sayıdır. Fakat her sayı bir rakam değildir!!!1 ve 8 hem birer rakam hem de birer sayıdır. Buna karşılık 18 bir sayıdır, fakat rakam değildir.

---

4. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.1. Doğal SayılarDoğal sayılar kümesi N harfi ile gösterilir.N = {0, 1,2, 3, ...} kümesinin elemanlarının her biri birer doğal sayıdır. Sıfır haricindeki doğal sayılara pozitif doğal sayılar ya da sayma sayıları denir. N+ sembolü ile gösterilir.N+ = {1,2, 3, ...} kümesinin elemanlarının her biri birer sayma sayısıdır.Örnek Soru 1: a ve b birer rakam olmak üzere,𝑎+10𝑏=12olduğuna gore, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 7 B) 9 C) 13 D) 19 E) 30 

---

5. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.1. Doğal SayılarÖrnek Soru Çözümü : Bu eşitlikte a bir rakam olduğundan 𝟏𝟎 𝐛 bir doğal sayı olmalıdır. Bunun için, b rakamı 1,2, 5 olabi­lir.b = 1 için 𝑎+101=12  a = 2 b = 2 için 𝑎+102=12  a = 7b = 5 için 𝑎+105=12  a = 10 olduğundan a bir rakam değildir. Buna gore, a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + 7 = 9 bulunur. 

---

6. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.1. Doğal SayılarÖrnek Soru 2: a ile b sayma sayısı olmak üzere,a + b = 13olduğuna göre, a.b çarpımının en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?A) 42 B) 45 C) 51 D) 54 E) 56

---

7. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.1. Doğal SayılarÖrnek Soru 2 Çözüm: a + b = 13 eşitliğinde a ile b birbirine yaklaştıkça çarpımları büyür ve birbirinden uzaklaştıkça çar­pımları küçülür. 7 + 6 = 13 için a.b = 7.6 = 42 12 + 1 = 13 için a.b = 12.1 = 12 olur.Buna göre, a.b çarpımının en büyük değeri 42 ve en küçük değeri 12 olduğundan, bu değerlerin toplamı 42 + 12 = 54 bulunur.

---

8. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.1. Doğal SayılarÖrnek Soru 3:a ile b doğal sayı olmak üzere, 4a + 5b = 50olduğuna göre, a sayısı kaç farklı değer alabilir?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

---

9. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.1. Doğal SayılarÖrnek Soru 3 Çözüm: Önce a = 0 için b = 10 bulunur. Daha sonra a nın değerleri b nin katsayısı kadar artırılırsa b nin değerleri de a nın katsayıları kadarazalır.4a + 5b = 50 ↓ ↓ 0 10 5 6 10 2 15 –2 ∉ Nolduğundan a sayısı 3 farklı değer alır.

---

10. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.2. Tam SayılarTam sayılar kümesi Z harfi ile gösterilir. Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}kümesinin elemanlarının her biri birer tam sayıdır.Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar, pozitif tam sayılar ve sıfırın birleşim kümesine eşittir.Negatif tam sayılar: 𝑍− = {…, –2, –1}Pozitif tam sayılar: 𝑍+  = {1, 2, …}Buna gore, Z = 𝒁− ∪  𝒁+ ∪ {0} dır. Uyarı : Sıfır bir tam sayıdır, ancak pozitif veya negatif değildir. 

---

11. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.2. Tam SayılarÖrnek Soru 1: a ile b tam sayı olmak üzere;b ∈  𝒁+ ve 𝐛=𝟐𝐚−𝟓𝐚 olduğuna göre, kaç farklı a sayısı vardır?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 

---

12. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.2. Tam SayılarÖrnek Soru 1 Çözüm: 𝐛=2𝑎−5𝑎=2𝑎𝑎−5𝑎=2−5𝑎a=1 için b = 2−51 = 2-5=-3 ∉  𝒁+ a=5 için b = 2−55 = 2-1=1 ∈ 𝒁+ a=-1 için b = 2−5−1 = 2+5=7 ∈  𝒁+ a=-5 için b = 2−5−5 = 2+1=3 ∈  𝒁+ olduğundan 3 farklı a sayısı vardır. 

---

13. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.2. Tam SayılarÖrnek Soru 2: Rakamları farklı üç basamaklı en büyük negatif tam sayı ile iki basamaklı rakamları farklı en küçük tam sayının toplamı kaçtır? A) –200 B) –201 C) –202 D) –203 E) –204Çözüm: (–102) + (–98) = –200 olur.style.visibilityppt_xppt_y

---

14. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.2. Tam SayılarÖrnek Soru 3: a, b ve c negatif tam sayı olmak üzere, 2a = 3b ve 4b = 5colduğuna göre, a + b + c toplamının en büyük değeri kaçtır?A) –20 B) –23 C) –27 D) –33 E) –42

---

15. Sayfa
2. Sayıların Sınıflandırılması2.2. Tam SayılarÖrnek Soru 3 Çözüm: 2a = 3b ve 4b = 5c olduğundan, 8a = 12b = 15c olur.Burada a = –15, b = –10 ve c = –8 değerini aldığında a + b + c toplamı en çok: (–15) + (–10) + (–8) = –33 bulunur.

---

16. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.1. Çift ve Tek SayılarBirler basamağı {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından biri olan tam sayılara çift sayı, {1, 3, 5, 7, 9} rakamlarından biri olan sayılara tek sayı denir.Ç çift bir sayıyı, T tek bir sayıyı göstermek üzere;Ç ± Ç = Ç Ç.Ç = Ç Ç𝑛 = Ç (n ∈ N+)T ± T = Ç T.T = T 𝑇𝑛 = T (n ∈ N+)Ç ± T = T Ç.T = ÇÖrnek Soru 1 : Aşağıdaki sayıların hangisi bir tek sayıdır?A) 20094  – 1979 B) 923 + 139  C) 7. 43 D) 28  + 39  + 510  E) 5(45  – 54) 

---

17. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.1. Çift ve Tek SayılarÖrnek Soru Çözüm 1 : A) 20094 → T ve 1979 → T ⇒ T – T = ÇB) 923 → T ve 139→ T ⇒ T + T = ÇC) 7 → T ve 43 → Ç ⇒ T.Ç= ÇD) 28 → Ç, 39 → T ve 510 → T ⇒ Ç+ T + T = ÇE) 5 → T, 45 → Ç,  54 → T ⇒ T(Ç – T)⇒ T.T = T olur. 

---

18. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.1. Çift ve Tek SayılarÖrnek Soru 2 : a, b ve c birer tam sayı olmak üzere, 3(a.b) + 5a = 4c + 1olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?A) a çift, b tek sayıdır. B) a ve b tek sayıdır.C) a ve b çift sayıdır. D) a tek, b çift sayıdır. E) a + b çift sayıdır.

---

19. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.1. Çift ve Tek SayılarÖrnek Soru Çözüm 2 : 3.a.b + 5a = 4c + 1 ⇒ a(3b + 5) = 4c + 1 olur.4c + 1 daima tek sayı olduğundan, a ve (3b + 5) sayılarının her ikisinin de tek olması gerekir.3b + 5 tek sayı ise b cift sayıdır.Buna gore, a tek, b çift sayı olmalıdır.

---

20. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.2. Pozitif ve Negatif SayılarSayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında kalan sayılara pozitif sayılar, solunda kalan sayılara negatif sayılar denir.(+) pozitif bir sayıyı, (–) negatif bir sayıyı ve n bir tam sayıyı göstermek üzere,(+) . (+) = (+)(–) . (–) = (+)(–) . (+) = (–)(+) . (–) = (–) olur.(+)(+)=+,       (−)(−)=(+), (+)(−)=(−), (−)(+)=(−)(+)n=(+), (−)2n=(+), (−)2n−1=(-)  

---

21. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.2. Pozitif ve Negatif Sayılarİşlem önceliği ;Üslü NiceliklerParantez İçiÇarpma ve BölmeToplama ve ÇıkarmaNot : Aynı öncelikli işlemler varsa soldan sağa doğru işlem yapılır.

---

22. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.2. Pozitif ve Negatif SayılarÖrnek Soru 1 : 9 + 6 : (–3) – [–7 – (–2 + 1)]işleminin sonucu kaçtır?A) –6 B) –3 C) 0 D) 6 E) 13

---

23. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.2. Pozitif ve Negatif SayılarÖrnek Soru Çözüm 1 : 9 + 6 : (–3) – [–7 – (–2 + 1)]= 9 + 6 : (–3) – (–7 + 1)= 9 + 6 : (–3) + 6= 9 -2+6=7+6=13

---

24. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.2. Pozitif ve Negatif SayılarÖrnek Soru 2 : –2 – 24 : [6 + 3.1 – 3:1] – 5işleminin sonucu kaçtır?A) –11 B) –9 C) –7 D) –5 E) –4

---

25. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.2. Pozitif ve Negatif SayılarÖrnek Soru Çözüm 2 : –2 – 24 : [6 + 3.1 – 3:1] – 5= –2 – 24 : (6 + 3 – 3) – 5= –2 – 24 : 6 – 5= –2 – 4 – 5 = – 6 – 5= –11

---

26. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.2. Pozitif ve Negatif SayılarÖrnek Soru 3 : 18 – [8 + (–19 : (–1))] : (–9)işleminin sonucu kaçtır?A) 15 B) 18 C) 21 D) 24 E) 27

---

27. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.2. Pozitif ve Negatif SayılarÖrnek Soru Çözüm 3 : 18 – [8 + (–19 : (–1))] : (–9)= 18 - [8 + 19] : (-9)= 18 – 27 : (-9)= 18 + 3= 21

---

28. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.3. Ardışık SayılarBelli bir kurala göre aynı miktarda artan veya azalan sayı dizilerine ardışık sayılar denir.n bir tam sayı olmak üzere;Ardışık tam sayılar n, n + 1, n + 2, …Ardışık çift sayılar 2n, 2n + 2, 2n + 4, …Ardışık tek sayılar 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, …5 in katı olan a rdışık sayılar 5n, 5n + 5, 5n + 10, … şeklinde gösterilebilir.

---

29. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.3. Ardışık SayılarArdışık sayılar dizisinin terim sayısı, 𝑆𝑜𝑛 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚−İ𝑙𝑘 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝐴𝑟𝑡𝚤ş 𝑀𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤 + 1Örnek Soru : 33, 37, 41, … , 97 dizisinin kac terimi vardır?15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 𝑆𝑜𝑛 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚−İ𝑙𝑘 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝐴𝑟𝑡𝚤ş 𝑀𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤 + 1  97−334 + 1 = 17 style.visibilityppt_xppt_y

---

30. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.3. Ardışık SayılarSonlu ardışık pozitif tam sayıların toplamı T olsun.T = (Terim Sayısı). (𝑆𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚+İ𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚2) Örnek Soru : 4 + 7 + 10 + … + 28 toplamının sonucu kaçtır?124 B) 130 C) 134 D) 140 E) 144 T= (𝑆𝑜𝑛 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚−İ𝑙𝑘 𝑇𝑒𝑟𝑖𝑚𝐴𝑟𝑡𝚤ş 𝑀𝑖𝑘𝑡𝑎𝑟𝚤 + 1 ) . (𝑆𝑜𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚+İ𝑙𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑖𝑚2) = (28−43 + 1 ) . (28+42) = 9.16 = 144 style.visibilityppt_xppt_y

---

31. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.3. Ardışık SayılarÖrnek Soru 1 : Ardışık üç pozitif çift sayının toplamı 54 tür.Bu sayıların en büyüğü kaçtır?A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

---

32. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.3. Ardışık SayılarÖrnek Soru Çözüm 1 : En küçük sayı 2n olsun.2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 546n + 6 = 546n = 48 ⇒ n = 8olduğundan en büyük, 2n+4 = 16 + 4 = 20 bulunur.

---

33. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.3. Ardışık SayılarÖrnek Soru 2 : (a + 5) ve (2a – 3) ardışık iki tek sayı olduğuna göre,a nın alabileceği değerlerin toplamı kactır?A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

---

34. Sayfa
2.2 Tam Sayı Çeşitleri2.2.3. Ardışık SayılarÖrnek Soru Çözüm 2 : Ardışık iki tek sayı arasındaki fark 2 olduğundan;(a + 5) – (2a – 3) = 2 veya (2a – 3) – (a + 5) = 2 olmalıdır.(a + 5) – (2a – 3) = 2 ⇒ a + 5 – 2a + 3 = 2 ⇒ a = 6(2a – 3) – (a + 5) = 2 ⇒ 2a – 3 – a – 5 = 2 ⇒ a = 10olduğundan, a nın alabileceği değerlerin toplamı: 6 + 10 = 16 bulunur.

---

35. Sayfa
3. Faktöriyel Kavramı1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir.n! = n.(n – 1).(n – 2). ……0! = 1 olarak tanımlanır.1! = 12! = 2.1 = 23! = 3.2.1 = 64! = 4.3.2.1 = 24 n! = n(n – 1)!6! = 6.5.4.3.2.1 olarak yazılabildiği gibi6! = 6.5! veya 6! = 6.5.4! olarak da yazılabilir.

---

36. Sayfa
3. Faktöriyel KavramıÖrnek Soru 1 : 14!−13!12!+11!işleminin sonucu kaçtır?A) 126 B) 132 C) 144 D) 152 E) 156 

---

37. Sayfa
3. Faktöriyel KavramıÖrnek Soru Çözüm 1 : 14!−13!12!+11! = 14.13!−13!12.11!+11! = 13!(14−1)11!(12+1) = 13!.1311!.13 = 13!11! =13.12.11!11! = 13.12 = 156 

---

38. Sayfa
3. Faktöriyel KavramıÖrnek Soru 2 : 0! + 1! + 2! + 3! + … + 28!toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

---

39. Sayfa
3. Faktöriyel KavramıÖrnek Soru Çözüm 1 : Toplamın birler basamağı sorulduğundan birler basamağı “0” olan sayı bulunduktan sonra diğerlerine bakmaya gerek yoktur.Cunku diğer sayıların da birler basamağı sıfır olacaktır.0! = 11! = 12! = 23! = 64! = 245! = 1206! = 7201 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34 Elde edilen toplamın birler basamağı 4 olduğundan sorulan toplamın da birler basamağı 4 tür.

---

40. Sayfa
4. KAYNAKLAR1. " Sosyal Bilimler MYO için Temel Matematik" , Prof. Dr. Mustafa SEVÜKTEKİN, Dora Basım Yayın Dağıtım, 20152. " YGS Temel Matematik",  Aydın Basın Yayın Matbaa Sanayi ve Ticaret Ltd. Şti., 20123. " ÖSS Matematik ", Mustafa YAĞCI, 20094. " Temel Matematik", Prof.Dr. Mahmut KARTAL, Nobel Yayın Dağıtım, 20095. " Temel Matematik ", Doç.Dr. İrfan ERTUĞRUL, Ekin Basım Yayın Dağıtım, 2012

---